Produktintegration oder partielle Integration besteht in der Anwendung der Produktregel der Differentialrechnung, um das Integral eines Produkts von zwei Funktionen zu bestimmen. Beispiel: Zur Integration von setzt man und g(x) = x. Dann gilt:
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Sei f eine beschränkte Funktion im Intervall [a, b], das durch die Punkte die untere Grenze von f(x) auf so heißt eine Untersumme. Beispiel: f(x)=x³ auf dem Intervall [0,10], das in n=10 gleiche Teile unterteilt ist. Dann ist .
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Ein mehrfaches Integral ist ein Doppelintegral. Beispiel: Gegeben sei die Funktion . Dann berechnet sich das Doppelintegral wie folgt:
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Ein Häufungspunkt einer ->Folge (oder einer Menge reeller Zahlen) ist eine Zahl, in deren unmittelbarer Umgebung beliebig viele Folgenglieder (Elemente der Menge) liegen. Der Häufungspunkt muss nicht Glied der Folge (Element der Menge) sein. Genauer: Eine Zahl a ist Häufungspunkt der Folge , wenn es eine Teilfolge von gibt, die gegen a konvergiert. Ein Punkt […]
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Fläche (oder Flächeninhalt) beschreibt das Maß einer ebenen, begrenzten Figur. Man kann sich vorstellen, dass eine passende Fläche durch Einheitsquadrate (Quadrate mit der Kantenlänge 1 cm) ausgefüllt wird. Die Anzahl dieser Einheitsquadrate ergibt die Maßzahl für die gesuchte Fläche. Die Fläche kann in der Einheit Quadratmeter (), Quadratdezimeter (), Quadratzentimeter () und Quadratmillimeter () (je […]
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Vektoren heißen linear abhängig, wenn es reelle Zahlen gibt, so dass man einen Vektor durch geeignete Vielfache der anderen Vektoren darstellen kann. In der Ebene sind drei Vektoren stets linear abhängig, d.h. man kann einen Vektor durch Vielfache der anderen Vektoren darstellen. Beispiel: Die Vektoren , , sind linear abhängig, da . Genauso sind im dreidimensionalen […]
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Eine Funktion von zwei (oder mehreren) Variablen ist nach einer der Variablen partiell differenzierbar, wenn der Differentialquotient für diese Variable existiert, bei zwei Variablen etwa nach x an der Stelle , wenn existiert. Dieser Grenzwert heißt partielle Ableitung von f nach x; man schreibt . Partielle Ableitungen werden nach denselben Regeln gebildet, wie die Ableitungen von […]
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Es gibt drei Arten von uneigentlichen Integralen: – eine oder beide Grenzen sind unendlich, man spricht von einem „uneigentlichen Integral erster Art“, – die Funktion besitzt einen Pol in einem Punkt a, man spricht von einem „uneigentlichen Integral zweiter Art“ – beide Bedingungen sind zugleich erfüllt, man spricht von einem „uneigentlichen Integral […]
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Gilt bei einer ganzrationalen Funktion an mindestens Stellen , so folgt daraus, dass für alle i. Dies kann nützlich sein beim Rechnen mit Termen. Beispiel: Es gelte für alle x. Dann folgt: für alle x Koeffizientenvergleich liefert: und . Daraus folgt: , also und .
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Möchte man bei einer Größe von einer Einheit zu einer anderen Einheit wechseln, so muss man die Maßzahl der gegebenen Einheit geeignet umrechnen. Mit welcher Umrechnungszahl die Maßzahl multipliziert oder durch welche Umrechnungszahl sie dividiert werden muss, ist genau festgelegt. Beispiel: 1 km = 1 000 m, wenn man von km in m umrechnen möchte, […]
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